Exercícios sobre equação da reta resolvidos

 

Pratique sobre as equações da reta com os exercícios resolvidos e comentados, tire suas dúvidas e esteja pronto para avaliações e vestibulares.

As equações da reta pertencem à superfície da matemática chamada de geometria analítica. Levante campo de estudo descreve pontos, linhas e formas no projecto e no espaço, por meio de equações e relações.

Questão 1

A inclinação da reta que passa pelos pontos A (0,2) e B (2,0) é

Gabarito explicadoreto m igual a numerador incremento reto x sobre denominador incremento reto y fim da fraçãoreto m igual a numerador 2 menos 0 sobre denominador 0 menos 2 fim da fração igual a numerador 2 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a menos 1

Questão 2

Calcule o valor de t, sabendo que os pontos A (0, 1), B (t, 3) e C (2, 1) são colineares.

Gabarito explicadoA requisito de alinhamento de três pontos diz que o determinante da matriz é igual a zero.

d e t espaço abre colchetes tabela linha com 0 t 1 linha com 1 3 1 linha com 2 1 1 fim da tabela fecha colchetes igual a 0d e t espaço abre colchetes tabela linha com 0 t 1 linha com 1 3 1 linha com 2 1 1 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com 0 t linha com 1 3 linha com 2 1 fim da tabela igual a 0

Pela regra de Sarrus:

0.3.1 + t.1.2 + 1.1.1 – (2.3.1 + 1.1.0 + 1.t.1) = 0

0 + 2t + 1 – (6 + 0 + t) = 0

2t + 1 – 6 – t = 0

t – 5 = 0

t = 5

Questão 3

Os coeficientes, angular e linear, da reta x – y + 2 = 0 são, respectivamente,

a) Coeficiente angular = 2 e coeficiente linear = 2

b) Coeficiente angular = -1 e coeficiente linear = 2

c) Coeficiente angular = -1 e coeficiente linear = -2

d) Coeficiente angular = 1 e coeficiente linear = 2

e) Coeficiente angular = 2 e coeficiente linear = 2

Gabarito explicadoEscrevendo a equação na forma reduzida, temos:

reto x menos reto y mais 2 igual a 0 espaço espaçomenos reto y igual a menos reto x menos 2 espaço espaçoreto y igual a reto x mais 2

O coeficiente angular é o número que multiplica o x, logo, é o 1.

O coeficiente linear é o termo independente, logo, é o 2.

Questão 4

Obtenha a equação da reta que possui o gráfico a seguir.

Reta no plano (x, y)

Gabarito explicadoOs pontos onde a reta corta os eixos são (0, 2) e (3, 0).

Utilizando a forma paramétrica:

reto x sobre 3 mais reto y sobre 2 igual a 1

Porquê as opções de respostas estão na forma universal, devemos efetuar a soma.

É preciso calcular o mínimo múltiplo geral para igual os denominadores.

MMC(3, 2) = 6

numerador 2 reto x sobre denominador 6 fim da fração mais numerador 3 reto y sobre denominador 6 fim da fração igual a 1numerador 2 reto x espaço mais espaço 3 reto y sobre denominador 6 fim da fração igual a 12 reto x espaço mais espaço 3 reto y igual a 6negrito 2 negrito x negrito espaço negrito mais negrito espaço negrito 3 negrito y negrito menos negrito 6 negrito igual a negrito 0

Questão 5

Determine a equação da reta r que passa pelo ponto A(3, 1) e que tem coeficiente angular m = -2 .

Gabarito explicadoreto y menos reto y com 0 subscrito igual a reto m parêntese esquerdo reto x menos reto x com 0 subscrito parêntese direitoreto y menos 1 igual a menos 2 parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direitoreto y menos 1 igual a menos 2 reto x mais 22 reto x mais reto y igual a 2 mais 1negrito 2 negrito x negrito mais negrito y negrito igual a negrito 3

Questão 6

Encontre as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r: x + y – 3 = 0 e a reta que passa pelos pontos A(2, 3) e B(1, 2).

Gabarito explicadoFormalidade da reta que passa pelos pontos A e B.

Conta do coeficiente angular:

reto m igual a numerador incremento reto x sobre denominador incremento reto y fim da fração igual a numerador 1 espaço menos espaço 2 sobre denominador 2 espaço menos espaço 3 fim da fração igual a numerador menos 1 sobre denominador menos 1 fim da fração igual a 1

Assim, a reta é:

reto y menos reto y com 0 subscrito igual a reto m parêntese esquerdo reto x menos reto x com 0 subscrito parêntese direitoreto y menos 1 igual a 1 parêntese esquerdo reto x menos 2 parêntese direitoreto y menos 1 igual a reto x menos 2menos reto x mais reto y menos 1 mais 2 igual a 0menos reto x mais reto y mais 1 igual a 0

O ponto de interseção é a solução do sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço x mais y igual a espaço espaço espaço 3 fim da célula linha com célula com menos x mais y igual a menos 1 fim da célula fim da tabela fecha

Somando as equações:

2 reto y igual a 2reto y igual a 2 sobre 2 igual a 1

Substituindo na primeira equação:

reto x mais 1 igual a 3reto x igual a 3 menos 1reto x igual a 2

Assim, as coordenadas do ponto onde as retas se cruzam é (2, 1)

Questão 7

(PUC – RS) A reta r de equação y = ax + b passa pelo ponto (0, –1), e, para cada unidade de variação de x, há uma variação em y, no mesmo sentido, de 7 unidades. Sua equação é

Gabarito explicadoA variação de 1 em x provoca variação de 7 em y. Esta é a definição de coeficiente angular. Logo, a equação deve ter a forma:

y = 7x + b

Porquê o ponto (0, -1) pertence à reta, podemos substituir na equação.

menos 1 igual a 7.0 mais reto bmenos 1 igual a reto b

Desta forma, a equação é:

negrito y negrito igual a negrito 7 negrito x negrito menos negrito 1

Questão 8

(IF-RS 2017) A equação da reta que passa pelos pontos A(0,2) e B(2, -2) é

Gabarito explicadoUtilizando a equação reduzida e as coordenadas do ponto A:

reto y igual a ax mais reto b espaço espaço2 igual a reto a 0 mais reto b espaço espaço2 igual a reto b

Utilizando as coordenadas do ponto B e substituindo o valor de b = 2:

reto y igual a ax mais reto b menos 2 igual a reto a 2 mais reto b menos 2 igual a 2 reto a mais 2menos 2 menos 2 igual a 2 reto amenos 4 igual a 2 reto anumerador menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a reto amenos 2 igual a reto a

Montando a equação:

reto y igual a ax mais reto bnegrito y negrito igual a negrito menos negrito 2 negrito x negrito mais negrito 2

Questão 9

(UNEMAT 2017) Seja r uma reta com equação r: 3x + 2y = 20. Uma reta s a intercepta no ponto (2,7). Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, qual é a equação da reta s?

Gabarito explicadoPorquê as retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares são:

reto m com reto s subscrito. reto m com reto r subscrito igual a menos 1reto m com reto s subscrito igual a menos 1 sobre reto m com reto r subscrito

Para mandar o coeficiente angular de r, passamos a equação da forma universal para a reduzida.

3 reto x espaço mais espaço 2 reto y espaço igual a espaço 202 reto y igual a menos 3 reto x mais 20reto y igual a numerador menos 3 sobre denominador 2 fim da fração reto x mais 20 sobre 2reto y igual a menos 3 sobre 2 reto x mais 10

O coeficiente angular é o número que multiplica o x, sendo -3/2.

Determinando o coeficiente da reta s:

reto m com reto s subscrito igual a menos 1 sobre reto m com reto r subscritoreto m com reto s subscrito igual a menos numerador 1 sobre denominador menos começar estilo mostrar 3 sobre 2 fim do estilo fim da fraçãoreto m com reto s subscrito igual a menos 1 espaço. espaço abre parênteses menos 2 sobre 3 fecha parêntesesreto m com reto s subscrito igual a 2 sobre 3

Porquê as retas se cruzam no ponto (2, 7), substituímos estes valores na equação da reta s.

reto y igual a mx mais reto b7 igual a 2 sobre 3.2 mais reto b7 menos 4 sobre 3 igual a reto b21 sobre 3 menos 4 sobre 3 igual a reto b17 sobre 3 igual a reto b

Montando a equação reduzida da reta s:

reto y igual a mx mais reto breto y igual a 2 sobre 3 reto x mais 17 sobre 3

Porquê as opções de respostas estão na forma universal, precisamos transmudar.

3 reto y igual a 2 reto x mais 17negrito 2 negrito x negrito menos negrito 3 negrito y negrito igual a negrito menos negrito 17

Questão 10

(Enem 2011) Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura. As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela geminação do comprimento.

Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa desvendar os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa.

No exemplo anterior, o segmento A1B1 da figura 1, contido na reta r1, transformou-se no segmento A2B2 da figura 2, contido na reta r2.

Suponha que, mantendo metódico a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por n, sendo n um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta r1 sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento AnBn estará contido na reta rn .

A equação algébrica que descreve rn, no projecto cartesiano, é

Gabarito explicadoDeterminando a reta r1 na figura original:

Seu coeficiente angular é:

reto m igual a numerador incremento reto y sobre denominador incremento reto x fim da fração igual a numerador 1 menos 2 sobre denominador 2 menos 1 fim da fração igual a numerador menos 1 sobre denominador 1 fim da fração igual a menos 1

A reta corta o eixo y no ponto (0, 3), logo sua equação é:

reto y menos reto y com 0 subscrito igual a reto m parêntese esquerdo reto x menos reto x com 0 subscrito parêntese direitoreto y menos 3 igual a menos 1 parêntese esquerdo reto x menos 0 parêntese direitoreto y menos 3 igual a menos reto xnegrito x negrito mais negrito y negrito igual a negrito 3

Determinando a reta r2 na figura modificada:

Seu coeficiente angular é:

reto m igual a numerador incremento reto y sobre denominador incremento reto x fim da fração igual a numerador 1 menos 2 sobre denominador 4 menos 2 fim da fração igual a numerador menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 1 meio

A reta também corta o eixo y no ponto (0, 3), logo sua equação é:

reto y menos reto y com 0 subscrito igual a menos 1 meio parêntese esquerdo reto x menos reto x com 0 subscrito parêntese direitoreto y menos 3 igual a menos 1 meio parêntese esquerdo reto x menos 0 parêntese direitoreto y menos 3 igual a menos x sobre 2reto x sobre 2 mais reto y igual a 3reto x sobre 2 mais numerador 2 reto y sobre denominador 2 fim da fração igual a 3negrito x negrito mais negrito 2 negrito y negrito igual a negrito 6

Da equação da figura original para a modificada, o coeficiente de y e o termo independente foram multiplicados por 2.

Assim, para outras proporções:

negrito x negrito mais negrito ny negrito igual a negrito 3 negrito n

Veja mais sobre equações da reta:

Rafael C. Asth
Escrito por Rafael C. Asth

Professor de Matemática, licenciado e pós-graduado em ensino da Matemática e da Física. Atua porquê professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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